Atualizado em: 10 fevereiro 2012

Produtos Notáveis e Fatoração

Veja mais informações sobre produtos notáveis e fatoração neste artigo.
Você Sabia?
Levando em conta os registros arqueólogicos, muitos especialistas acreditam que a matemática sempre foi parte da atividade humana. De acordo com eles, essa ciência evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos.

Fatorar significa escrever um número como uma multiplicação de dois ou mais termos, ou seja, transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Exemplo: ax + ay = a.(x+y)

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Existem vários tipos de fatoração que são aplicados de acordo com o polinômio apresentado:

Fator Comum em evidência

Quando os termos possuem fatores comuns.

Veja o polinômio abaixo.  Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

ax + ay

Assim: ax + ay = a.(x+y)

Forma fatorada

Exemplos:

a) bx + by – bz = b.(x+y-z)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

(x+y).(a+b)

Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exemplos:

a) x²- 3x+ax-3a = x.(x – 3) + a (x – 3) = (x – 3).(x + a)

b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b²(2 + a) + c³ (2 + a ) = (2 + a) (b² + c³)

Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

Assim: x² – 9 = (x + 3).(x – 3)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios ( ) e (  ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)2 = a² + 2ab + b²

(a – b)2 = a² – 2ab + b²

Assim:

4x² – 12xy + 9y²

|                |

√4x²      √9y²

|                |

2x               3y

2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de 4x² – 12xy + 9y²

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.

4x² – 12xy + 9y²   = (2x – 3y)² » forma fatorada

Logo:     4x²+12xy + 9y²   = (2x + 3y)²   » forma fatorada

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