Atualizado em: 16 março 2012

Análise Combinatória - Exercícios

Aprenda como resolver os exercícios de análise combinatória, aqui você poderá responder testes e encontrar as soluções
Você Sabia?
Existem desde exercícios bastante simples até os mais complexos, depende do seu nível de estudo. Cada um exige determinada propriedade da análise combinatória, elas são: princípio fundamental da contagem, fatorial, arranjos simples, permutação simples, combinação e permutação com elementos repetidos.
Análise Combinatória

Análise Combinatória te ajuda a descobrir as possibilidades existentes em determinado conjunto (Foto: Divulgação)

Análise Combinatória nada mais é que um estudo que se encaixa dentro da matemática. Sabendo trabalhar com isso é possível descobrir as possibilidades e combinações que podem ser formadas, por exemplo, o número de elementos de um conjunto em determinadas condições.

A introdução do estudo de análise combinatória surgiu com a necessidade que os jogadores de jogos de azar tinham de calcular o número de possibilidades que existiam, dessa forma eles poderiam descobrir quais as chances de sair com a vitória da mesa.

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A partir disso os estudos passaram a ser desenvolvidos, primeiro foi Tartaglia, um matemático italiano, depois vieram outros e hoje é essencial, principalmente para os vestibulandos e concurseiros. Para facilitar, disponibilizaremos uma bateria de exercícios para você treinar e ficar apta a realizar qualquer prova de matemática.

Um exemplo prático é o seguinte: Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? Claro que esse é um exemplo simples, mas é disso que estamos falando.

Exercícios que envolvem análise combinatória


1 – Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?

Resolução: Em outras palavras queremos saber o número de permutações possíveis entre as unidades da federação de RS,RJ, RS e SP.

Através do cálculo de P4 temos:

P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas permutações referentes a ela, dividindo 24 por 2!, quando iremos obter 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato.

Podemos também solucionar o problema calculando P4(2):

Logo:

O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes.

2 – Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?

Resolução: Trocando a sequência OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora temos cinco caracteres, logo devemos permutá-los para obter o número de anagramas:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Dos 120 anagramas possíveis, temos alguns que possuem ou a sequência CS, ou a sequência SC. Como desconsiderá-los?

É simples, vamos contá-los.

Vamos trocar a sequência formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $. Ficamos então com $AL*.

Temos então que calcular P4, mas como C e S são 2 letras que também permutam entre si, devemos multiplicar P4por P2:

P4 . P2 = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48

Atente ao fato de que no caso da sequência CAL*S calculamos P5, mas não a multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da sequência CS, as letras da sequência OURO não sofrem permutação entre si. A sequência é sempre a mesma.

Então, dos 120 anagramas possíveis, 48 deles possuem uma das permutações da sequência CS. Vamos portanto descontá-los:

120 – 48 = 72

Logo:

Podemos formar 72 anagramas que correspondem às condições do enunciado.

3 – Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos possíveis?

Resolução: 

Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis.

Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possíveis de um dos dados, pode ser combinado com cada um dos 6 resultados possíveis do outro dado, resultando então em 36 resultados possíveis.

Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas às 6 possibilidades do terceiro dado resultarão em 216 resultados.

Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos:

6 . 6 . 6 = 216

Logo:

Obteremos um agrupamento dentre os 216 possíveis.

Múltipla escolha

1 – (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
2 – (VUNESP) De uma  urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12

3 – (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242

4 – (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56

5 – (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122

Gabarito:

1. C

2. C

3. B

4. E

5. C

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